Polinomlar Matematik

Konusu 'Ders Notları' forumundadır ve EjjeNNa tarafından 12 Mart 2019 başlatılmıştır.

  1. EjjeNNa Administrator


    P O L İ N O M

    Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

    a0, a1, a2, ....an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

    1. an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
    2. an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
    3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
    4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
    5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
    P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
    P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
    6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.

    Örnek:
    P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

    Çözüm:
    5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
    3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
    P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
    P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

    ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

    P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

    Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
    der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

    Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
    Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

    Örnek
    P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

    Çözüm:
    2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
    -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
    x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
    -y5 teriminin derecesi 5
    Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

    Örnek
    P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
    P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

    Çözüm:
    P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
    = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
    P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
    P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
    = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.


    SIFIR POLİNOMU

    P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
    an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

    Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

    Örnek
    P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

    Çözüm
    P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
    m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
    m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.


    SABİT POLİNOM

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

    0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
    x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

    Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

    Çözüm
    P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

    İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

    Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

    n. dereceden,
    A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve
    B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
    A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

    Örnek
    A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
    B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

    Çözüm
    A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
    B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
    A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
    b = 6, a = -4, c = , d = dir.


    POLİNOM FONKSİYONLARI

    P : R  R
    x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

    P : R  R
    x  P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

    Örnek
    P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
    P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
    = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
    P(x-1) = x2 olarak bulunur.

    II: Yol:
    Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
    P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

    Örnek
    P(x) polinomu için,
    P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
    H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
    P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
    P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
    P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.
     


Sayfayı Paylaş