Faktöriyel Konu Anlatımı

Konusu 'Matematik' forumundadır ve RüzGaR tarafından 9 Ekim 2010 başlatılmıştır.

  1. RüzGaR

    RüzGaR Super Moderator



    Faktöriyel Konu Anlatımı
    Faktöriyel, 1' den n' ye kadar olan doğal sayıların çarpımıdır. n, bir doğal sayı olmak üzere, n faktöriyel

    n! = 1.2.3.4.5.6. ... .(n-2).(n-1).n
    veya

    n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). ... .5.4.3.2.1 şeklinde tanımlanır.

    0! ile 1! ' in 1 olduğu varsayılacaktır. Yani, 0! = 1 ve 1! = 1 dir.

    1' den büyük doğal sayıların faktöriyelleri ise şöyle hesaplanacaktır:

    • 2! = 2.1 = 2
    • 3! = 3.2.1 = 3.2! = 3.2 = 6
    • 4! = 4.3.2.1 = 4.3! = 4.3.2! = 4.3.2 = 24
    • 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.6 = 20.6 = 120
    • 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 6.120 = 720
    • 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6! = 7.720 = 5040

    • n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
    • (2n)! = 2n.(2n-1)(2n-2). ... .3.2.1 = 2n.(2n-1)! = 2n.(2n-1).(2n-2)!
    • (3n)! = 3n.(3n-1).(3n-2). ... .3.2.1 = 3n.(3n-1)! = 3n.(3n-1).(3n-2)!
    • (n+1)! = (n+1).n.(n-1). ... .3.2.1 = (n+1).n! = (n+1).n.(n-1)!
    • (n-1)! = (n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = (n-1),(n-2)! = (n-1).(n-2).(n-3)!

    Faktöriyelin Bazı Özellikleri:
    1. n >= 2 olmak üzere, n! çift doğal sayıdır.
    2. n >= 5 olmak üzere, n! sayısının son rakamı 0' dır. Yani, n! sayısının sonunda genelde 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı bulunur.
    3. n! - 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.
    4. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı ise,
    y! = an.x
    koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
    • y sayısı, a asal sayısına bölünür
    • Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve bölümler toplanır.
    5. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı değilse,
    y! = an.x
    koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
    • Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır
    • Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun biçimde düzenlenir.

    ÖRNEKLER:
    Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?
    Çözüm: 6! + 5! = 6.5! + 5! = (6+1).5! = 7.5! = 7.120 = 840

    Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?
    Çözüm: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Bu işlemi iki farklı yolla yapabiliriz.

    Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?

    Çözüm:
    20 = 5 . 4 tür. Dolayısıyla, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür. Yani, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür. Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile bölümünden kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile bölümünden kalanı bulmuş oluruz. Buna göre,
    0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
    34 ün 20 ye bölümünden kalan, 14 tür. O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + ... + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan 14 tür.

    Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?

    Çözüm:
    Küçük sayının sonunda kaç tane sıfır varsa, toplamın sonunda da o kadar sıfır olacağından,
    45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 . 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 . 1 + 20 elde edilir. Dolayısıyla, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 bulunur.turkeyarena.net
    İkinci yol olarak, 45 = 5 . 9 + 0, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı yine
    1 + 9 = 10 olur.

    Örnek 5: 48! - 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?

    Çözüm:
    48! in sonunda ne kadar sıfır varsa, o kadar 9 rakamı vardır. Dolayısıyla,
    48 = 5 . 9 + 3, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır.
    Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak üzere, 35! = 3n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

    Çözüm:
    n nin alabileceği en büyük değeri bulmak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir. Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda bölümler şöyle bulunur:
    35 = 3 . 11 + 2, 11 = 3 . 3 + 2, 3 = 3 . 1 + 0
    Dolayısıyla, n nin alabileceği en büyük değer, 11 + 3 + 1 = 15 olur.

    Örnek 15: n bir doğal sayı olmak üzere,
    83! / 14n
    işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n' nin en büyük değeri kaç olmalıdır?

    Çözüm:
    14 = 2 . 7 olduğu için, 83! in içerisinde kaç tane 7 çarpanı varsa, n' nin en büyük değeri odur. Dolayısıyla,
    83 = 7.11 + 6, 11 = 7.1 + 4 olduğundan, n' nin alabileceği en büyük değer
    11 + 1 = 12 olur.

    Örnek 7: m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m > n olmak üzere,

    ise, n kaçtır?

    Çözüm: m > n koşuluna göre, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun.

    Örnek 8: 1! + 2! + 3! + ... + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki rakam kaç olur?

    Çözüm:Her terimi tek tek hesaplayalım.
    1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, ...
    5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bunları göz önüne almaya gerek yoktur. Bu nedenle, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10' a bölmeliyiz.turkeyarena.net Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir.
    1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 10.3 +3 bulunur.
    Dolayısıyla, birler basamağı 3 tür.

    Örnek 9: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
    a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10

    Çözüm:
    8! + 9! + 10! = 8! . (1 + 9 + 10.9) = 8! . 100 =8! . 102 = 8! . (2.5)2 = 8! . 22 . 52
    8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 bulunmaktadır. Dolayısıyla, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez.
     



  2. Misafir

    Misafir Guest

    matematik dersinden nefret ediyorum
     
  3. OrKuN

    OrKuN Active Member

    Matematiği sevmen lazım bulmaca çözüyormuş gibi dünüş ki öğrendikçe yapabildikce çok daha zevkli olacaktır. İlerde başarılı bir insan olmanın yolu matematiği iyi bilmekten geçer bunu unutma kulağına küpe yap.
     
  4. Misafir

    Misafir Guest

    güzel siteymiş
     
  5. buse beslii

    buse beslii Guest

    Güzel bi site ^_^ ihihihi
     

Sayfayı Paylaş