Polinomlar Çözümlü Sorular

Konusu 'Matematik' forumundadır ve RüzGaR tarafından 23 Eylül 2010 başlatılmıştır.

  1. RüzGaR Super Moderator


    Polinomlar Çözümlü Sorular
    Örnek:
    P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

    Çözüm:
    5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
    3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
    P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
    P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

    Örnek
    P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

    Çözüm:
    2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
    -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
    x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
    -y5 teriminin derecesi 5
    Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

    Örnek
    P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
    P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

    Çözüm:
    P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
    = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
    P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
    P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
    = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

    Örnek
    P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

    Çözüm
    P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
    m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
    m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

    Örnek
    A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
    B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

    Çözüm
    A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
    B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
    A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
    b = 6, a = -4, c = , d = dir.

    Örnek
    P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
    P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
    = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
    P(x-1) = x2 olarak bulunur.

    II: Yol:
    Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
    P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

    Örnek
    P(x) polinomu için,
    P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
    H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
    P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
    P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
    P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

    Örnek
    P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

    Çözüm
    P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
    P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
    = 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

    Örnek
    P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

    Çözüm
    P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
    = x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir.

    Örnek
    A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

    B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

    Çözüm
    B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir.
    A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
    = (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )
    = (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
    = 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur.

    Örnek
    A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x
    C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
    a) A(x) . B(x)
    b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

    Çözüm
    a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
    = 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
    = 3x6 + 3x5 + x2 + x

    b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
    = x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
    = x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
    = x4 + x + 1 bulunur.

    Örnek
    P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
    Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

    x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
    _____________ = x2
    x2- 3x + 8

    ± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
    -__________________
    -3x3 – x2 + x + 5 = 8
    ±3x3 ± 9x2 ±3x
    -_________________
    8x2 – 2x + 5
    ± 8x2 ± 24x ±8
    -_________________
    - 26x + 13

    Bölüm : x2 – 3x + 8
    Kalan : -26x + 13

    Örnek
    Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

    Çözüm
    1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
    2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
    3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır

    4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

    Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.
    px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a

    Örnek
    P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

    Çözüm
    P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım.

    Bölümün Katsayıları Kalan

    -1 0 3 4
    2 1 2 2 4 14
    1 1 2 7 18

    Bölümün Katsayıları Kalan

    Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
    Kalan R(x) = 18 bulunur.

    Örnek
    P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

    Çözüm
    X – 2 = 0  x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

    Örnek
    P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

    Çözüm
    P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.

    Örnek
    P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

    Çözüm
    İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.(turkeyarena.net)
    P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.
    Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

    Örnek
    Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz

    Çözüm
    (x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,
    P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
    P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
    P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b
    P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur.

    -3a + b = -5
    2a + b = 4
    denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.

    Örnek
    Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

    Çözüm
    Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;(turkeyarena.net)
    P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
    x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
    x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.
    bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
    a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur.
    c - 2a = 6
    a + c = 9
    Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur.
     



  2. Misafir Guest

    Polinom ile ilgili daha bol soru neden yok?
     
  3. BaRıŞ Well-Known Member

Sayfayı Paylaş