Periyodik Fonksiyon

Konusu 'Matematik' forumundadır ve RüzGaR tarafından 22 Şubat 2009 başlatılmıştır.

  1. RüzGaR Super Moderator


    Periyodik Fonksiyon

    Reel sayılar kümesinin bir E altkümesinden IR ye bir f fonksiyonu verilsin ve sıfırdan farklı sabit bir reel sayı k olsun. Eğer her x E için

    f(x+k) = f(x)

    eşitliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna periyodiktir denir, k ya da f in bir peryodu adı verilir.

    Konumuzu incelerken E=IR olması halini gözönüne alacak ve EÌIR, E¹IR olması hali incelendiği zaman özellikle belirtilecektir. Bu tanıma göre IR den IR ye bir f fonksiyonunun peryodikliğini daha sade olarak şöyle ifade ederiz her x IR için

    f(x+k)= f(x)

    olacak şekilde bir sıfırdan farklı k sayısı bulunabiliyorsa f e peryodiktir denir ve k ya da f in peryodu denir.

    Örnek. Her x IR için f(x)=sin x ile tanımlanan f fonksiyonu peryodiktir ve f in peryodu 2 p dir.
    Eğer bir k sayısı f in bir peryodu ise -k sayısı da f in bir peryodudur; çünkü k peryot olduğundan sıfırdan farklıdır dolayısıyla -k¹0 dır. Yine k peryot olduğundan x-k IR için

    f(x-k) = f((x-k)+k)= f(x)

    olur. O halde -k sayısı da f in bir peryodudur.
    Eğer k sayısı bir f fonksiyonun bir peryodu ise herbir n IN için nk sayısının da f in peryodu olduğu tümevarımla gösterilebilir. n=1 için 1.k=k sayısı f için bir peryottur. Şimdi n=m için m.k nın f nin peryodu olduğunda n=m+1 için (m+1)k nın da f nin peryodu olduğunu gösterelim. n=m için m.k sayısının f fonksiyonunun bir peryodu olduğunu kabul edelim. Her x IR için

    f(x+(m+1)k) = f(x+mk+k) = f((x+mk)+k); k peryot old.
    = f(x+mk) ; mk peryot olarak kabul edildiğinden
    = f(x)

    bulunur. O halde (m+1) k sayısı da peryot olur. Böylece tümevarım prensibinden dolayı her n IN için nk sayısı peryot olur.
    Eğer k sayısı f fonksiyonunu bir peryodu ise her negatif m tamsayısı için mk sayısı da f fonksiyonunun bir peryodudur.turkeyarena.com
    Çünkü; m negatif bir tamsayı ise m= -n olacak şekilde bir n IN vardır. nk sayısı f in bir peryodu olur. -nk da f in peryodu olur. Dolayısıyla mk, f in peryodu olur
     



Sayfayı Paylaş