Matematik Felsefesi

Konusu 'Matematik' forumundadır ve RüzGaR tarafından 17 Ekim 2007 başlatılmıştır.

  1. RüzGaR Super Moderator


    TurkeyArena.com

    MATEMATİĞİN DİLİ

    En eski metinlerde bile görüldüğü gibi, matematiği diğer bilim dallarından ayıran şey deneyle olan ilişkisidir. Doğru, çember, sayı gibi somut bir nesneden hareket edildiği halde, deney hiçbir zaman ispat nedeni olarak kabul edilmez. Başka bilim dallarının tersine matematikte 'deneyerek doğrulayalım' denemez. Bu anlayışa göre nesnenin durumu nedir? Nesne sadece tanımıyla vardır ve bu tanım nesne hakkındaki herşeyi açıklar. Mesela, bir çember ve bir elektron arasında büyük bir fark vardır. Çember, matematikçinin tanımladığı bir nesneden başka birşey değildir. Beklenmedik hiç bir durum göstermez. Elektronsa, her yeni deneyde beklenmedik bir davranış biçimi ortaya koyabilir. Böylece tanımın önemi anlaşılıyor. Matematikte herşey 'ifade biçiminde' saklıdır. XIX.yy'da, Eukleidesçi olmayan geometrilerin bulunması sonucunda sezgisel davranıştan kaçınılması gerektiği anlaşıldı ve eskiden beri var olan bu zorunluluk daha da güçlendi. O zamandan başlayarak bilinen uygulamalardan esinlenerek, eksiksiz ve kesin bir matematik dili oluşturma ve açıklama amaçlandı.
    Bu betimleme iki aşamada sağlanır. İlk aşamada kurulan cümleler arasındaki ilişkiler incelenir: bu önermeler hesabıdır. İkinci aşamada, bu cümlelerin veya önermelerin nasıl kurulduğu belirtilir; bu da açık önermeler hesabıdır.
    Burada matematiksel düşünceye denk düşen, 'doğru - yanlış' gibi iki değerli bir mantığın bakış açısı söz konusudur; bu konuda iki değişik inceleme yapılır; biri bileşik önermenin hangi koşullar altında doğru olduğunu, doğruluk tablosu ile belirlemeyi amaçlar; diğeri kesin kurallarla kabul edilen veya daha önce ispat edilen formüllerden hareket ederek, yeni önermeler elde etmeye çalışır. Ve böylece 'tümdengelimi' kesin bir çerçeveye oturtur.
    Doğal dil yalnız bu iki öğeye indirgenemez. Özellikle zarflar (belki, kesinlikle...) doğru düşünceyi dalgalandıran terimler içerir. Bunlar matematikte dikkate alınmaz.

    MANTIK

    Geleneksel olarak, eski Yunanlı düşünür Aristoteles'in Organon adlı eseri, mantık biliminin başlangıcı olarak kabul edilir. Bu eserde, çıkarsama modelleri kıyaslama (tasım) yöntemiyle, sistematik biçimde açıklanır. Matematikte önemli bir yeri olan, diğer bir yönüyle felsefeye bağlı bu çok görünümlü bilim dalını tanımlamak oldukça zordur. Matematikle ilgili yaklaşıma matematiksel mantık adı verilir. Ancak, matematiksel mantığın felsefi mantıkla ilişkisi hiçbir zaman kesilmemiştir. Eukleides'ten bu yana, matematikte sezginin rolünü mümkün olduğunca azaltan, çıkarsamaya önem veren, aksiyomlar ve tümdengelime dayanan bir model kabul edildi. XIX.yy'da Eukleidesçi olmayan geometrilerin bulunması sonucunda, aksiyonların kesin bir biçimde ifade edilmeleri zorunlu hale geldi; bunun için de, bir kanıtlamada söz konusu olan terimleri tanımlamak gerekiyordu. Bunlar arasında yazım kuralları, çeşitli doğru iddialar, tümdengelimin işleyiş biçimi sayılabilir.
    Bu biçimsel matematik anlayışında, gerçek kavramına 'modeller kuramı' açısından yaklaşıldı; tümdengelim kavramı ise 'tümdengelimli sistemler kuramı' veya 'kanıtlama kuramı'na dayanılarak ele alındı. Bu iki yaklaşım çağdaş matematiksel mantığın temel taşlarıdır.
    Yazımın, somut bir savı olduğu kadar, soyut bir gerçeği de belirtebileceğini göz önünde tutmak gerekir. Mesela 2 + 3 = 3 + 2 eşitliğinin doğru olduğu kanıtlanabilir; ama sezgisel olarak aynı anlamı taşıdığı anlaşılan x + y = y + x formülünün doğru olduğu kanıtlanamaz; çünkü kanıtlamak için bütün sayılarla denemek gerekir! Bu tip ifadeler kullanılmasaydı matematik çok fakir hale gelirdi. Aslında kurallar, soyut formüllerin kanıtlanmasına olanak verse de bazen, doğru veya yanlış olduğu bilinmeyen bir iddia ile karşılaşma tehlikesini tamamen yok etmez; belirsiz olarak nitelenen önermeler vardır ve mantığın özgün sonuçlarından biridir.
    Sorulan bir başka soru da şudur: bir kuramda seçilen aksiyomlardan hareketle uygulanan tümdengelimin bir çelişkiyle sonuçlanamayacağından önceden emin olunabilir mi? Yanıt olumluysa, kuram tutarlıdır. Bir aksiyomlar sistemi göz önüne alındığında, bu sistemin tutarlı bir kuram sağladığı kanıtlanmalıdır. Ne var ki bu kanıtlama için hangi kuramdan yararlanmak gerekir? Yanıt şaşırtıcıdır. Ünlü 'Gödel Teoremi'ne (1931) göre aritmetiğin tutarlılığı aynı kuramda kanıtlanamaz; bunun için daha güçlü bir kuram gerekir.
    Yalancı paradoksu veya otoreferans Antikçağ'dan beri bilinen bu paradoksun ilk ifadesi şu şekilde yapılmıştır: bütün Giritliler yalancıdır; Epimenides de Giritlidir; 'ben yalan söylüyorum' diyor. Epimenides doğruyu söylüyor mu? Hayır, çünkü Giritli'dir; o halde yalancıdır. Ama 'yalan söylüyorum' derken yalan söylüyorsa, o zaman doğruyu söylüyor. Bu durumda çelişki kaçınılmazdır. Ortaçağ'da, Fransız filozof Jean Buridan, paradoksun daha basit bir şeklini verdi. Şu cümleyi yazalım: "Burada yazılan cümle yanlıştır." Bu cümle doğru mudur? Yanlış olması koşuluyla, evet! Ancak o halde doğruluk sorusuna engel var demektir.
    Bu paradoks, günümüzde 'otoreferans' denen problemi ortaya koydu. Jean Buridan'ın cümlesi kendisi hakkında bir yargı belirtiyor. Ama otoreferansın zorunlu olarak çelişkiye yol açtığı zannedilmesinin: 'ben' dendiğinde dilde, vardır; ama cümle kendi doğruluğu üzerinde bir yargı belirtiyorsa, çelişkiye varılabilir. Yalancı paradoksu; hem Russelş paradoksunun, hem de Gödel teoremlerinin temelini oluşturur.

    MATEMATİKSEL KAVRAMLARIN GERÇEKLİĞİ

    Matematikçinin dünyasındaki nesneler ne kadar gerçektir?
    Bir görüşe göre söz konusu nesnelerin tümü ile ilgili hiçbir şey gerçek görünemez. Matematiksel gerçekler yalnızca kavramlardır; çoğu kez, çevremizdeki dünyada oluşumları ve görünüşteki düzenleriyle matematikçiyi etkileyerek onların uslarında idealleştirdikleri nesnelerdir ama yine de ussal idealleştirmeden öte değillerdir. İnsan usunun zorunlu ürünlerinden başka birşey olabilirler mi? Aynı zamanda matematik kavramlarında, bir matematikçinin ussal yargılarının çok ötesinde uzanan derin bir gerçeklik gözlenebilir. Sanki, kavramlar değil de insan düşüncesi bazı dış gerçeğe -kendine özgü olup bize yalnız bir kısmını gösteren gerçeğe- doğru yönlendirilmektedir. Mandelbrot Kümesi bu konuda etkileyici bir örnektir. Sistemi ilk kez inceleyen Polonya kökenli matematikçi Bénoit Mandelbrot, çok ilginç bir şeylerin izi üzerinde olduğunu farketmekle birlikte, sistemin özünde gizli harika yapıyı önceleri anlayamadı. Bilgisayarının ekranında ilk görüntüler belirmeye başladığı zaman, izlemekte olduğu yapının bilgisayarının yanlış işlem yapmasından kaynaklandığını sandı (Mandelbrot 1986!) Mandelbrot Kümesi'nin karmaşık yapısının tüm ayrıntılarını hiç birimizin anlaması veya bunların bir bilgisayar tarafından gözler önüne serilmesi olanaksızdır. Sanki düşünce sistemimizin bir parçası değil de kendine özgü gerçeğe sahip bir yapıdadır. (Kontrol edilemez; hakkında az bilgimiz olan veya hiç bilgimiz olmayan bir gerçeklikle karşılaştığında matematikçi hem bunun hem de keşfedilecek bir alana girmenin coşkusu ile şoka uğrar. 1983'te Koch Eğrisi adlı fraktal geometri ile ilgili bir konuyu okurken soyut ve en basit yapıya sahip geometrik yapı olan eşkenar üçgenin bile önemsenecek derecede karmaşık bir yapı oluşturduğunu görünce henüz gerçekliğin sadece bize görünen kısımlarını nesneleştirerek meydana getirdiğimiz bu düşünsel sistemin; matematik, 'herşeyi' açıklamak için aslında çok daha gelişmeye ihtiyacı olduğu anlaşılıyordu. Ali) Everest Dağı nasıl orada öylece duruyorsa, Mandelbrot Kümesi de orada öylece duruyor!
    Aynı şekilde, kompleks sayılar sistemi de, herhangi bir matematikçinin akıl yapısının çok ötesinde, derin ve süresiz bir gerçeğe sahiptir. Kompleks sayılar fikri ilk kez Gerolamo Cardano tarafından 1545'de cebir üzerine 'Ars Magna' adında önemli ve etkileyici bir kitapta ileri sürüldü.
    Başlangıçta, eksi sayıların söz konusu kareköklerinin alınması işlemi sadece bir araç olarak görünse de, bu matematiksel nesnelerin öngörülen amaçlarını aşarak çok daha fazla işler başardıkları daha sonra anlaşılmıştır. Çok geçmeden bu sayıların, daha önce aklımızın ucundan dahi geçmeyen sihirli özelliklere sahip olduklarını anlıyoruz. Bu özellikler, kuşku götürmez ileri görüşlülüklerine rağmen, ne Cardano, ne Bombelli, ne Wallis, ne Coates, ne Euler, ne Wessel, ne Gauss, ne de bir başka büyük matematikçi tarafından bu sayılara kazandırılmamıştır. Böylesine bir sihir, bu sayıların zaten doğasında vardı ve matematikçiler yavaş yavaş bu sihrin farkına vardılar. Cardano kompleks sayıları ilk kez ortaya koyarken, daha sonraları Cauchy İntegral Formülü, Riemann Gönderimi Teoremi, Lewy Genişletme Özelliği gibi çeşitli adlarla tanımlanacak bu özelliklerin farkında değildi. Bu özellikler, 1539'larda Cardano'un karşılaştığı sayıların özellikleri olup hiçbir değişime uğramamıştır.
    Matematik kavramlarında insanı dürtükleyen öyle bir eşsizlik ve evrensellik var ki, benzerini sanatta veya teknikte bulmak olası değil.


    MATEMATİĞİN GÜZELLİĞİ

    Matematiğin güzelliğini çok açıkça ortaya koyan iki örnek verelim. Basit olmalarına rağmen bunlar birinci sınıf teorilerdendir. Buna rağmen bu örnekler; özel matematik bilgisi olmayan okurlar için basit ve anlaşılırdır, ön açıklama gerektirmezler, yalnız ifade değil ispat da takip edilebilir. Bu koşullar bizi sayılar teorisinin en güzel teoremlerinin çoğundan -özellikle Fermat'nın iki kare (two square) teoremi veya 'iki dereceli ifadelerde evrik terslik kuramı' (law of quadratic reciprocity)- mahrum bırakmaktadır. Öte yandan, örnekler 'üst düzey' matematikten yani profesyonel matematikçilerin matematiğinden alınmalıdır. Yunan matematiğinin iki ünlü teoremini verip ispatlayalım. İkisi de hem fikir hem de işlem yönünden basit olmalarına rağmen aradan geçen ikibin yıl her ikisine de en ufak bir kırışıklı getirmemiştir. Birinci sınıf teoremler olup matematiksel güzelliği anlamanın başlangıcı için idealdirler. Matematik dağarcıkları ne kadar hafif olursa olsun normal zekalı her okuyucu en fazla bir saat içinde kavrayabilecektir.
    1.Birinci örnek; Euclid'in sonsuz sayıda asal sayının var olduğu hakkındaki teoreminin ispatıdır.
    Asal sayılar veya Asallar, daha küçük çarpanlara ayrılamayan
    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...
    gibi sayılardır. Bu serinin hiç bitmeyeceğini ispatlayacağız.
    Serinin bittiğini ve 2,3,5,...,P yazılımının serinin tümü olduğunu varsayalım. (O zaman P en büyük asal sayı olacaktır.)
    Q = (2 x 3 x 5 x ... x P ) + 1
    ile tanımlanan Q sayısını ele alalım. Q sayısının 2,3,5,...,P sayılarının hiçbiri ile bölünemediği açıktır; çünkü bu sayıların herhangi biri ile bölündüğünde 1 kalanını bırakır. Ama kendisi asal değilse, bir asal ile bölünebilmelidir; bu nedenle de bütün asallardan daha büyük bir asal sayı vardır. Bu Q'nun kendisi de olabilir. Bu sonuç da, P'den daha büyük bir asal sayı olmadığı yolundaki hipotezimizle çelişir. O halde bu hipotez doğru değildir.
    Bu ispat olmayana ergi (reducto de absurdum) yöntemi ile yapılmıştır. Euclid'in çok sevdiği bu yöntem matematikçilerin en iyi araçlarından biridir. Bu herhangi bir satranç gambitinden çok daha ince gambittir; bir satranç oyuncusu bir piyonu hatta bir figürü feda etmeyi göze alabilir; bir matematikçinin ortaya koyduğu şey ise oyunun kendisidir.

    2. İkinci örnek; Pythagoras'ın kök 2 'nin irrasyonel bir sayı olduğunun ispatıdır. Bir rasyonel sayı, a ve b tam sayılarının a/b şeklindeki kesir ifadesidir. a ve b'nin ortak çarpanları ve b sıfır olmadığından; kök 2 irrasyoneldir demek; 2 sayısının (a/b) 2 şeklinde yazılamayacağını başka türlü ifade etmektir. Bu da;
    a 2 = 2b 2 ifadesinin ortak çarpanları olmayan a ve b sayılarınca sağlanamayacağını söylemekle aynı şeydir. Bu tamamen bir pür aritmetik teoremidir; irrasyonel sayılar hakkında bilgi gerektirmediği gibi, onların özellikleri hakkında herhangi birt teoriye de dayanmaz.
    Yine reducto ad absurdum yöntemini uyguluyoruz. a ve b'nin ortak çarpanları bulunmayan tam sayılar olduklarını varsayalım. yukarıdaki ifadeye göre a 2 bir çift sayıdır. (2b 2 2 ile bölünebildiği için). Eğer a çift ise bir c tamsayısı için;
    a = 2c
    yazılabilir. Bu nedenle de
    2b 2 = a 2 = (2c) 2 = 4c 2
    veya
    b 2 = 2c 2
    Öyleyse b 2 çift sayıdır ve b de (daha önce belirtilen nedenle) çift sayıdır. Bu ise varsayımımız ile çelişir; öyleyse varsayım doğru değildir.
    Sayılar teorisinden, anlamını herkesin anlayabileceği, güzel birçok örnek verilebilir. Örneğin her tam sayının yalnız bir şekilde asal çarpanlara ayrılabileceğini belirleyen "aritmetiğin temel teoremi" diye bilinen teoremi ele alabiliriz. Buna göre; 777 = 3 x 7 x 37 'dir ve başka bir ayrışımı da yoktur. Bu teorem adından da anlaşılacağı gibi ileri aritmetiğin temelidir.
    Euclid'in ve Pythagoras'ın teoremleri bize, tutarlı bir tam sayılar aritmetiği oluşturmak için yeterli malzememiz olduğunu söylüyor.

    "Düşünüyorum, o halde varım." René Descartes

    Bertand Russell, bir keresinde, insanın neden matematik öğrenmesi gerektiği sorusunu ciddi olarak ele almıştı. Verdiği yanıt sorunun dar kapsamının çok ötesinde oldu; bugün de; insanın herhangi birşeyi neden öğrenmesi gerektiği sorusuna kabul edilebilir bir yanıt oluşturmaktadır. Russell şöyle yazıyor: "...arzu edilen şeyin sadece yaşamak olgusu olmayıp, yüce şeyler üzerinde düşünerek yaşamak sanatı olduğunun hatırlanmasında yarar vardır." Evet; yüce şeyler üzerinde düşünerek yaşamak sanatı.
    Russell'ın yüce şeylerden kastettiği, resim, heykel, edebiyat, müzik, mimari ve genel olarak 'sanat' genel başlığı altında toplanan şeylerdi. Ancak o bunlardan fazlasını da kastetmekteydi. "Yüce şeyler" içinde yüce ideler de vardır. Russell'ın yaşama sanatı, insanın "düşünmenin güzelliğine bütünüyle duyarlı" olmasını gerektirmektedir.
    Düşünsel güzellik dünyasının en güzel alanlarından biri de matematiktir. Yalnız bu bile onu öğrenmek için yeterli nedendir.

    Matematik bilimi ile ilgilenen birine felsefi düşünme gücü, geniş bir bakış açısı kazandırır ve keşif yeteneğini arttırır. Bir 'Matematikçi' felsefi konulara da gerekli önemi vermelidir. Özellikle matematik felsefesi ve bilim tarihi konularında bilgi sahibi olunmalıdır. Abel, Arf, Boole, Descartes, Euler, Gauss, Miller, Newton, Penrose, Russell, Whitehead,... gibi matematikçi ve matematik felsefecilerinin eserleri mutlaka okunmalı ve ilgili bilgiler sentezlenmelidir. Başarılı bir bilimadamı olmanın ön şartı tüm bilimi en azından genel olarak kavrayacak bir zihin gücüne sahip olmaktan geçmektedir. Matematik ise başlıbaşına bir bilim dalı olmasının ötesinde evrensel nitelikleri içeren genel bir düşünsel sistem olduğundan matematikçinin, her bilim dalı hakkında genel de olsa bilgiye sahip olması gereklilik halini almaktadır. Özellikle de matematik biliminde ezberin, öğrenmede, üretmede, keşifte yeri yoktur.
     



Sayfayı Paylaş