Kombinasyon Konu Anlatımı

Konusu 'Matematik' forumundadır ve RüzGaR tarafından 28 Kasım 2010 başlatılmıştır.

  1. RüzGaR Super Moderator


    Kombinasyon Konu Anlatımı
    KOMBİNASYON (GRUPLAMA)
    [​IMG]
    olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.
    n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da [​IMG] ile gösterilir.
    n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:

    [​IMG]
    Kural


    [​IMG]
    [​IMG]

    Kural
    n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;
    0 elemanlı alt kümelerinin sayısı : [​IMG]
    1 elemanlı alt kümelerinin sayısı : [​IMG]
    2 elemanlı alt kümelerinin sayısı: [​IMG]
    . . .
    n elemanlı alt kümelerinin sayısı: [​IMG]
    olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:


    [​IMG]


    ÖRNEKLER
    1. Burcu Gizem ve Ecem’ den oluşan 3 kişilik bir gruptan;
    a) Biri başkan, diğeri başkan yardımcısı olmak üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?
    b) Bir yarışmaya gönderilmek üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?

    Çözüm:
    a) A= {Burcu, Gizem, Ecem} kümesinden; birincisi başkan, ikincisi başkan yardımcısı olmak üzere ikililer seçelim. Bu ikililer, A kümesinin ikili permütasyonlarıdır.

    A kümesinin ikili permütasyonları
    (sıralı ikililer)

    (Burcu, Gizem) (Gizem,Ecem)
    (Burcu, Ecem) (Ecem, Burcu)
    (Gizem, Burcu) (Ecem, Gizem)

    Bu sıralı ikililerin sayısı 6’dır. Bunu, P(3, 2) = 6 biçiminde yazarız. Burada ayrıca, (Burcu, Gizem) ve (Gizem, Burcu) ikililerin farklı permütasyonlar olduğu açıktır.
    Permütasyonda sıra önemlidir.

    b) A={Burcu,Gizem,Ecem}kümesinden,bir yarışmaya gönderilmek üzere seçilecek 2 kişilik kümeler oluşturalım.Bu kümeler, A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleridir.

    A kümesinin ikili alt kümeleri
    (kombinasyonlar)

    {Burcu, Gizem}
    {Burcu, Ecem}
    {Gizem, Ecem}
    A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin (kombinasyonlarının) sayısı 3 tür. Bunu C(3,2) = 3 biçiminde yazarız. Ayrıca, {Burcu, Gizem} ve {Gizem, Burcu}kümelerinin aynı olduğu açıktır.
    Kombinasyonda sıra önemli değildir.

    2. A= {a,b,c} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini ve 2 li permütasyonlarını yazalım.

    Çözüm:
    2 li alt kümeleri 2 li permütasyonları
    (kombinasyonları) (sıralı ikililer)

    {a,b} (a,b) (b,a)
    {a,c} (a,c) (c,a)
    {b,c} (b,c) (c,b)

    Yukarıda gördüğünüz gibi, 3 elemanlı kümenin 2 li alt kümelerinin sayısı,
    C(3,2)=3 ve 2 li permütasyonların sayısı p(3,2)=6 dır.

    Bunu, 2 ! . C(3,2) = P(3,2) biçiminde ifade ederiz.


    Teorem: r n olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı,
    C(n,r)= = dir.

    İSPAT: n elemanlı bir kümenin, r elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,r) dir. Bu alt kümelerin her birindeki elemanların tüm sıralanışlarının (permütasyonlarının) sayısı da r! olduğundan r! . C(n,r)= P(n,r) yazabiliriz. Buradan,

    C(n,r)= = = bulunur.

    ÖRNEKLER:
    1. A={1,2,3,4,5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin (3 lü kombinasyonlarının) sayısını bulalım.

    Çözüm: A kümesinin 5 elemanlı olduğundan, 5 in 3 lü kombinasyonunu bulacağız.
    1. YOL: C(5,3) bulunur.
    2. YOL: C(5,3) bulunur.


    2. 10 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı kaç farklı biçimde oluşturulabilir.

    Çözüm: 10 kişilik gruptan 5 kişi seçerken sıra önemli değildir. Örneğin, bu takımın {Ali, Can, Seçkin, Suat, Okan} veya {Can, Seçkin, Okan, Ali, Suat} olması farklı seçim olmaz. Bu nedenle seçimi kombinasyonla yaparız. O halde, oluşturulacak 5 kişilik grupların sayısı,turkeyarena.net
    C(10,5) olur.

    3. 2.C(n,2)=c(2n,1) ise n kaçtır?

    Çözüm: 2.C(n,2)=C(2n,1)


    2
    n.(n-1)=2n n -3n=0 n=0 v n=3 bulunur. n=0 olmayacağından n=3 tür.

    4. Herhangi 3 tanesi doğrusal olmayan 6 noktadan kaç doğru geçer.

    Çözüm: 6 noktadan seçilecek olan herhangi iki noktanın sırası önemli değildir (Bu noktalardan herhangi ikisi A,B ise {A,B} ile {B,A} seçimleri aynı doğruyu gösterir.). O halde, oluşacak doğru sayısını, kombinasyonla buluruz. Bu durumda, 6 noktadan,

    doğru geçer.

    5. 3 erkek ve 2 bayandan oluşacak bir grup, 6 erkek ve 4 bayan arasından kaç türlü seçilebilir?

    Çözüm: 6 erkek arasından 3 erkeği C(6,3); 4 bayan arsından 2 bayanı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçebiliriz.

    Genel çarpma kuralına göre bu seçimi;

    türlü yapabiliriz.

    6. n kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısının olduğunu gösterelim.
    Çözüm: n kenarlı bir çokgende n tane köşesi vardır. İki noktadan bir doğru geçtiğinden, köşegen sayısını bulmak için, n’in 2 li kombinasyonlarının sayısını bulmalıyız. Ancak, komşu olan iki köşeden köşegen geçemeyeceğinden (bunlar, çokgenin kenarlarıdır.), C (n,2) den, kenar sayısı olan n çıkarılır. O halde, n kenarlı çokgenin köşegen sayısı;
    bulunur.


    Kombinasyonla ilgili bazı özellikler:

    1.
    2.
    3.
    4.
    Bu eşitliklerin ispatını, C(n,r) formülünden yararlanarak yapınız.



    ÖRNEKLER:

    1. C(5,0)+C(4,1)+C(3,3)-C(7,6) işlemini yapalım.

    Çözüm: C(5,0)=1 , C(4,1)=4 , C(3,3)=1 ve (7,6)=7 oldugundan
    C(5,0) + C(4,1) + C(3,3) – C(7,6) = 1 + 4 + 1 – 7 = -1 bulunur.

    2. toplamını üstteki 4. özelliği kullanarak bulalım.

    Çözüm: olur.

    bulunur.

    3. 5 farklı matematik ve 4 farklı Türkçe kitabından; 3 matematik ve 2 Türkçe kitabını, bir kitaplığın rafına kaç türlü yerleştirebiliriz?

    Çözüm: 5 farklı matematik kitabı arasından; 3 matematik kitabı C(5,3) kadar farklı şekilde seçilebilir. 4 farklı Türkçe kitabından; 2 Türkçe kitabı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçilebilir. Seçilen bu kitaplar,
    C(
    5,3) . C(4,2) . 5! = 10 . 6 . 120 = 7200 farklı sıralanabilir.
     



Sayfayı Paylaş