Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral

Konusu 'Matematik' forumundadır ve EjjeNNa tarafından 11 Eylül 2007 başlatılmıştır.

  1. EjjeNNa Administrator


    Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral

    FONKSİYON

    TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için, A nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına A ‘dan B’ye FONKSİYON denir.

    Kısaca, A’dan B’ye bir bağıntının fonksiyon olması için,

    a) x A için (x, y) f olacak biçimde y B olmalı.

    b) A kümesinin bir elemanı B kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez.

    A kümesinin f fonksiyonunun TANIM KÜMESİ ve B kümesine f fonksiyonunun DEĞER KÜMESİ denir.

    f fonksiyonu x A’yı y B’ye eşliyorsa y’ye x’in görüntüsü denir ve f: x y veya y = f (x) biçiminde gösterilir.

    TERS FONKSİYON:
    f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun. B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir.

    f: A B f-1 : B A
    f: x y = f (x) f-1 : y x = f-1(y)

    ÖRNEKLER:
    1. f: R R, f (x) = x + 5 ise f-1(x) nedir?
    Çözüm:


    2. R+ R ye f (x) = x2 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz (x > 0)
    Çözüm:






    BİLEŞKE FONKSİYON:
    f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.

    ÖZELLİKLERİ:
    1) fog gof
    2) (fog)oh = fo(goh
    3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon)
    4) foI = Iof = f
    5) (f-1)-1 = f
    6) (fog)-1 = g-1of-1
    7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1
    8) fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h

    ÖRNEKLER:
    1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir?
    Çözüm:
    (gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 )
    = g(- 3) = - 3 + 1 = - 2
    2. f ve g : R R’ye
    f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun.
    Çözüm:

    3. f ve g : R R’ye
    f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir?
    Çözüm:
    (gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1

    g (x) = (3x + 2) of-1
    f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir.

    4. f ve g : R R’ye f (x) = ve (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) = ?
    Çözüm:
    (f-1o fog)(x) = f-1 o (6x + 1)
    g (x) = f-1 o(6x + 1)
    f (x) =
    g (x) = (3x + 1) o (6x + 1)
    g (x) = 3. (6x + 1) + 1 = 18x + 4
    5. f ve g : R R’ye
    (gof-1) (x) = ve g-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir?
    Çözüm:
    (g-1ogof)(x) = g-1 o



    LİMİT
    BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
    TANIM
    A R ve f: A – {xo} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t
    x xo
    şeklinde gösterilir.

    SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:
    SAĞDAN LİMİT:
    y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde
    x x+o
    gösterilir.

    SOLDAN LİMİT:
    y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2
    x x-o

    ÖRNEK:
    x2 + 1, x 0 ise,
    x + 1 , x < 0 ise,

    fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?

    ÇÖZÜM:
    lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1
    x 0+ x 0+

    lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1
    x 0- x 0-

    O halde lim f(x) = 1 dir.
    x 0


    LİMİT TEOREMLERİ:

    1) lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)
    x x0 x x0 x x0

    2) lim (f(x).g(x)) = lim f(x).lim g(x)
    x x0 x x0 x x0

    3) lim c = c (c R)
    x x0

    4) lim (c.f(x)) = c . lim f(x)
    x x0 x x0

    5) g(x) 0 ve lim g(x) 0 ise
    x x0



    6) n N+ olmak üzere


    7) n tek doğal sayı ise,



    8) n çift doğal sayı ve f(x) 0 ise


    BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ

    A) BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ:

    ÖRNEK:

    ifadesinin değeri nedir?


    ÇÖZÜM:



    B) BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ:

    ÖRNEK:

    limitinin değeri nedir?

    ÇÖZÜM:



    Payın derecesi paydadan büyük olduğundan




    ÇÖZÜMLÜ TEST

    1. değeri aşağıdakilerden hangisidir?

    A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

    Çözüm 1.:

    dır. O halde,




    Cevap: B


    2. limitinin değeri nedir?

    A) B) C) D) E)

    Çözüm 2.:


    Cevap: C



    TÜREV VE UYGULAMALARI

    TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0 (a,b) olsun.

    limiti bir gerçel sayı ise,

    bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde gösterilir.



    ÖRNEK:

    f : R R, f(x) = -x2 + 2 fonksiyonunun x0 = 1 noktasındaki türevi nedir?

    ÇÖZÜM:

    f(1) = - 12 + 2 = 1
    f’(1)



    NOT:




    ÖRNEK:

    f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir.

    a) f’(2) = ? b) f’(1) = ?

    ÇÖZÜM:

    a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.

    b)

    TÜREV ALMA KURALLARI:

    1) c R olmak üzere
    f (x) = c f’(x) = 0
    2) f (x) = x f’(x) = 1
    3) f (x) = cx f’(x) = c
    4) f (x) = c . xn f’(x) = c . n . xn-1
    5) f (x) = c . un f’(x) = c . n . un-1 . u’x
    6) f (x) = u v f’(x) = u’x v’x
    7) f (x) = u . v f’(x) = u’x . v + v’x . u
    8) f (x) = u . v . t f’(x) = u’x . v. t + v’x . u . t
    + t’x . u . v
    9) f (x) =
    10) f (x) =

    ÖRNEKLER:
    1. f (x) = 5 f’(x) = 0
    2. f (x) = f’(x) = 0
    3. f (x) = x5 f’(x) = 5x4
    4. f (x) = x f’(x) = 1
    5. f (x) = 2x f’(x) = 2
    6. f (x) =

    7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?
    ÇÖZÜM:
    f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2

    8. f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?
    ÇÖZÜM:
    f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 . (3x2 + 5)’
    = 11(3x2 + 5)10 . 6x
    = 66x (3x2 + 5)10

    9. f (x) = fonksiyonunun türevi nedir?
    ÇÖZÜM:

    olur.

    TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
    A)
    1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx
    2) f (x) = Cosx f’(x) = - Sinx
    3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x

    4) f (x) = Cotx f’(x) = - (1 + Cot2x)


    ÖRNEKLER:
    1. f (x) = Secx f’(x) = ?
    ÇÖZÜM:


    2. f (x) = Cosec f’(x) =?
    ÇÖZÜM:


    B.
    1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]
    2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = - u’(x) . Sin [u(x)]
    3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]

    4. f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]

    ÖRNEKLER:
    1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x
    2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ?
    ÇÖZÜM:
    f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]
    f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]
    3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?
    ÇÖZÜM:
    f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)

    4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ?
    ÇÖZÜM:
    f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’
    f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)

    İNTEGRAL
    TANIM:
    f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
    F’(x) dx = F(x) veya
    f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.

    ÖRNEK:
    f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2
    f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1
    f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3

    BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
    A. f’(x) dx = f(x) + C
    B. d[f (x)] = f (x) + C
    C. f (x)dx = f (x) dx ( R)
    D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx
    E. [ f (x) dx] = f (x)
    F. d[ f (x)dx] = f(x) dx

    ÖRNEKLER:
    1. 2x dx = x2 + C
    2. d(3x2) = 3x2 + C
    3. 5x4dx = 5 x4dx
    4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx
    5. [ 2x dx] = 2x
    6. d (x3dx) = x3dx



    ÖRNEKLER:
    1.
    2. 12dx = 12x + C
    3.
    4. (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ?
    ÇÖZÜM 4:
    x3 + x2 – 2 = u (3x2 + 2x) dx = du


    TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:
    A. Cos x dx = Sin x + C
    B. Sin x dx = - Cosx + C
    C. Sec2x dx = (1 + tan2x) dx

    D. Cosec2x dx = (1 + Cot2x) dx =
    =

    ÖRNEKLER:
    1. Cos2x . Sin x dx =
    ÇÖZÜM:
    Cosx = u -Sin x dx = du
    Sin x dx = - du
    u2 . (-du) = - u2 . du



    2. Sin 3x dx = ?
    ÇÖZÜM:

    3. Cos (2x + 1) dx = ?
    ÇÖZÜM:


    LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:
    A.
    B.
    C. eu du = eu + C
    D.

    ÖRNEKLER:
    1.
    2. tan x dx = ?
    ÇÖZÜM:

    Cos x = u - Sin x dx = du
    Sin x dx = - du

    = - ln |u| + C = - ln |Cos x| + C
    3. ex dx = ex + C
     



  2. GamZe Moderator

    teşekkürler çok işme yaradı
     

Sayfayı Paylaş