2. ve 3. Dereceden Denklemler

Konusu 'Matematik' forumundadır ve RüzGaR tarafından 12 Mart 2009 başlatılmıştır.

  1. RüzGaR Super Moderator


    2. ve 3. Dereceden Denklemler

    TANIM
    a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

    ax2 + bx + c = 0
    biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenlidenklem denir.
    Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

    B. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

    1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi
    ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0
    biçiminde yazılabiliyorsa
    f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;
    Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

    2. Diskiriminant (D) Yöntemi
    ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve
    D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

    [​IMG]

    ax2 + bx + c = 0
    denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.
    a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.
    Bu kökleri,
    [​IMG]

    b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.
    c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.
    Bu kökler,
    [​IMG]

    Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.
    Ü ax2 + bx + c = 0
    denkleminin kökleri simetrik ise,
    1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.
    2) Simetrik kökleri gerçel ise,
    b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

    C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

    ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri
    x1 ve x2 ise,

    [​IMG]
    [​IMG]

    D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

    Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;
    (x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,
    x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.
    Ü ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve
    mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine
    [​IMG]
    yazılarak bulunur.
    Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,
    [​IMG]
    Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0
    denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,
    ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
    (a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.
    Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.
    ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

    A. TANIM
    a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

    B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

    a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,
    [​IMG][​IMG]

    C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ
    DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

    Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
    (x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.
    Bu denklem düzenlenirse,
    x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0
    olur.
    Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri
    x1, x2, x3 olsun.
    1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
    x1 + x3 = 2x2 dir.​
    2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,
    3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
    x1 = x2 = x3 tür.​
    n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,
    anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0​
    denkleminin;
    Kökleri toplamı :[​IMG]
    Kökleri çarpımı :[​IMG]
     



Sayfayı Paylaş